Программа промежуточной аттестации студентов по дисциплине Численные методы Специальность: 030100 Информатика



Федеральное агентство по образованию
СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ
государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»


Кафедра естественнонаучных и математических дисциплин


ПРОГРАММА ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ СТУДЕНТОВ
по дисциплине Численные методы


Специальность: 030100 Информатика


Старый Оскол 2004

ББК
П

Печатается по решению
Редакционно-издательского Совета
Старооскольского филиала
Белгородского государственного
университета



Составитель: доцент кафедры
естественнонаучных и
математических дисциплин
к. ф.-м. н. Кознов В. В.


Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.


Программа промежуточной аттестации студентов по дисциплине Численные методы / Составитель: В. В. Кознов — Старый Оскол: Изд-во СОФ БелГУ, 2004. — с. 12.

  1. ^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Цель курса — формирование у студента представлений о численных методах решения задач на ЭВМ.

Основная задача курса — углубление математического образования и развитие практических навыков в области прикладной математики. Студенты должны быть готовы использовать полученные в этой области знания, как при изучении смежных дисциплин, так и в профессиональной деятельности, в частности при обучении информатике старшеклассников средней школы.

Курс включает в себя изучение элементов теории погрешностей и теории приближений, основные численные методы алгебры и математического анализа. Подробно рассмотрены различные методы построения интерполяционных многочленов вопросы численного дифференцирования и интегрирования, а также численного решения дифференциальных уравнений.

Главная особенность обучения основам численных методов, которая все отчетливее проявляется в последние годы, связана с интенсификацией процессов использования различных специализированных математических пакетов и систем программирования вычислительных методов как инструмента решения прикладных задач. В связи с этим, явное включение в содержание дисциплины вопросов, раскрывающих применение современных информационных технологий в прикладной математике, является необходимым требованием времени.

Теория приближенного решения математических задач постоянно пополняется все более совершенными численными методами, появление которых стимулируется как особенностями машинной математики, так и расширением функциональных возможностей прикладных программных средств. Все это требует определенного уровня понимания, который необходимо обеспечить в рамках дисциплины «Численные методы».

Студенты должны приобрести навыки использования пакета прикладных программ для решения задач вычислительной математики, что обеспечит закрепление и продолжение сведений об ЭВМ, полученных при изучении курсов «Программное обеспечение ЭВМ», «Программирование», «Компьютерное моделирование», «Практикум по решению задач на ЭВМ».

В результате изучения дисциплины студент должен знать:

должен уметь:

  1. ^ СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

РАЗДЕЛ 1. Основы теории погрешностей

Точные и приближенные значения величин, точные и приближенные числа. Источники классификаций погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Верные знаки, связь количества верных знаков и относительной погрешности. Правила округления и погрешность округления. Основные задачи теории погрешностей, способы их решения. Применение дифференциального исчисления при оценке погрешности. Обратная задача теории погрешностей. Оценка погрешностей вычислений, возникающих в ЭВМ.

^ РАЗДЕЛ 2. Численные методы решения скалярных уравнений

Задача отделения корней. Приближённое вычисление корня уравнения с заданной точностью методом половинного деления. Метод простой итерации численного решения уравнений. Условия сходимости итерационной последовательности, оценка точности. Методы хорд и касательных. Сравнение методов.

^ РАЗДЕЛ 3. Численные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений

Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Полные метрические пространства. Теорема о сжимающих отображениях в полном метрическом пространстве и ее следствия. Применение теоремы о сжимающих отображениях при решении системы линейных уравнений: простые итерации, метод Зейделя. Оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений. Понятие о методе Ньютона решения системы нелинейных уравнений. Практические схемы решения на ЭВМ.

^ РАЗДЕЛ 4. Среднеквадратичные приближения

Теорема о существовании элемента наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве. Единственность этого элемента, его нахождение. Ортогонализация линейно независимой системы. Приближение по ортогональной системе. Неравенство Бесселя. Дискретный вариант среднеквадратичных приближений. Переопределенная система линейных уравнений. Понятие об определении параметров функциональной зависимости.

^ РАЗДЕЛ 5. Интерполирование функций

Задачи, приводящие к аппроксимации одной функции другой. Алгебраический интерполяционный многочлен: единственность, форма Лагранжа, оценка погрешности интерполирования. Схема Эйткина. Разделённые разности. Первый и второй многочлены Ньютона. Связь разделённой разности и производной. Практическая оценка погрешности интерполирования. Обратное интерполирование. Многочлены Чебышёва, их применение для минимизации оценки погрешности интерполирования. Понятие о сходимости интерполяционного процесса. Обобщенная задача интерполирования. Многочлены Эрмита. Понятия о сплайнах. Практические схемы интерполирования на ЭВМ.

^ РАЗДЕЛ 6. Численное дифференцирование

Численное дифференцирование, некорректность задачи численного дифференцирования. Дифференцирование функций, интерполированных полиномами Лагранжа и Ньютона. Оценка погрешности. Численное вычисление первой производной во внутреннем узле таблицы. Общий случай вычисления производной произвольного порядка. Численное дифференцирование на ЭВМ.

^ РАЗДЕЛ 7. Численное интегрирование

Постановка задачи приближенного вычисления определённого интеграла, формула прямоугольников. Формулы Ньютона — Котеса. Метод неопределённых коэффициентов. Формула трапеций. Практическая оценка погрешности квадратурных формул. Формула Симпсона. Квадратурные формулы Гаусса. Вычислительная погрешность квадратурных формул. Метод Монте-Карло. Численное интегрирование на ЭВМ.

^ РАЗДЕЛ 8. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Рунге — Кутта. Многошаговые методы. Решение краевой задачи для линейного 2-ого порядка сведением к разностной краевой задаче. Метод прогонки. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ.

^ РАЗДЕЛ 9. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных

Решение дифференциальных уравнений в частных производных с помощью построения разностных схем. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Явные, неявные разностные схемы. Понятие о решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа сведением к системе линейных уравнений с последующим её решением методом Монте-Карло или итерационным методом. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных на ЭВМ.

^ РАЗДЕЛ 10. Понятие о приближенном решении интегральных уравнений.

Приближенное решение уравнений Фредгольма и Вольтерра методом замены интеграла конечной суммой, применение теоремы о сжимающих отображениях.

  1. ^ ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ

  1. Источники погрешностей значения величин и их классификация.

  2. Погрешности основных арифметических операций. Погрешности элементарных функций.

  3. Прямая задача теории погрешностей и способы ее решения.

  4. Обратная задача теории погрешностей и ее решение.

  5. Представление в ЭВМ чисел с плавающей точкой; погрешность машинного округления; принципы оценки погрешности результатов вычислений.

  6. Метод простой итерации решения уравнений и его реализация на ЭВМ.

  7. Метод касательных численного решения уравнений и его реализация на ЭВМ.

  8. Метод хорд численного решения уравнений и его реализация на ЭВМ.

  9. Общая характеристика точных методов решения систем линейных уравнений на ЭВМ. Метод Гаусса.

  10. Метод простой итерации решения систем линейных уравнений.

  11. Метод Зейделя решения систем линейных уравнений.

  12. Задача аппроксимации функции.

  13. Многочленная интерполяция.

  14. Построение интерполяционного многочлена с помощью системы линейных уравнений.

  15. Интерполяционные формулы Ньютона.

  16. Интерполяционный многочлен Лагранжа и оценка его погрешности.

  17. Интерполяционный многочлен Ньютона для равномерной сетки.

  18. Обратное интерполирование для равномерной и неравномерной сетки. Интерполяционный многочлен Чебышева.

  19. Метод наименьших квадратов, наилучшее квадратичное приближение. Вычисление значений параметров среднеквадратичных приближений. Реализация метода наименьших квадратов на ЭВМ.

  20. Вычисление значений производных различного порядка на ЭВМ.

  21. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса и оценка их погрешности.

  22. Частная и общая квадратурные формулы трапеций; оценка погрешности общей формулы и реализация на ЭВМ.

  23. Частная и общая квадратурные формулы Симпсона; оценка погрешности общей формулы и ее реализация на ЭВМ.

  24. Численные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. Метод Эйлера. Ломаные Эйлера.

  25. Метод Рунге—Кутта решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, оценка его погрешности и реализация на ЭВМ.

  26. Многошаговый метод Адамса решения задачи Коши. Общие представления о методах прогноза и коррекции.

  27. Метод разностных схем решения дифференциальных уравнений в частных производных.

  28. Метод сеток. Задача Дирихле. Уравнение Лапласа в конечных разностях.

  1. ^ РЕКОМЕНДУЕМАЯ ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

  1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.

  2. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. — М.: Высш. шк., 2000.

  3. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высш. шк., 2002.

  4. Вержбицкий В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). — М.: Высш. шк., 2000.

  5. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). — М.: Высш. шк., 2001.

  6. Лапчик М. П., Рагулина М. И., Стукалов В. А. Численные методы. — М.: Академия, 2001.

  1. ^ РЕКОМЕНДУЕМАЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

  1. Васильков Ю. В., Василькова Н. Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. — М.: Финансы и статистика, 1999.

  2. Ракитин В. И., Первушкин В. Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. — М.: Высш. шк., 1998.

  3. Сборник задач по методам вычислений. / Под ред. П. Н. Монастырного. — М.: Физматлит, 1994.

  1. ^ ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ КУРСОВЫХ РАБОТ

  1. Аппроксимация функций.

  2. Вычисление интеграла с использованием квадратурных формул Ньютона — Котеса.

  3. Вычисление собственных значений и векторов матриц.

  4. Исследование точности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

  5. Квадратурная формула Эйлера.

  6. Кубические сплайны.

  7. Методы Монте-Карло.

  8. Многомерная оптимизация. Применение многомерной оптимизации.

  9. Многочлены Берштейна.

  10. Нахождение всех действительных корней алгебраического многочлена с указанной точностью.

  11. Ортогональная система Хаара.

  12. Приближенное вычисление двукратных интегралов.

  13. Пример расходящегося интерполяционного процесса.

  14. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

  15. Решение систем линейных уравнений.

  16. Спектральный анализ на основе дискретного преобразования Фурье.

  17. Сходящийся интерполяционный процесс Фейера.

  18. Численное дифференцирование и вычисление коэффициентов чувствительности.

  1. ^ КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ

Оценка «отлично» выставляется студенту, глубоко и прочно усвоившему программный материал, исчерпывающе, последовательно, грамотно и логически стройно его излагающему, в ответе которого увязывается теория с практикой, он показывает знакомство с монографической литературой, правильно обосновывает и использует рациональные способы решения задачи.

^ Оценка «хорошо» выставляется студенту, твёрдо знающему программный материал, грамотно и по существу излагающему его, который не допускает существенных неточностей в ответе на вопрос, правильно применяет теоретические положения при решении практических вопросов и задач.

^ Оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, который знает только основной программный материал, но не усвоил его деталей, допускает в ответе неточности, недостаточно правильно формулирует основные законы и правила, затрудняется в выполнении практических задач.

^ Оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, который не знает значительной части программного материала, допускает в ответе существенные ошибки, с затруднениями выполняет практические работы.

СОДЕРЖАНИЕ

№ п/п

Название разделов

Страницы

1

Пояснительная записка

3

2

Содержание дисциплины

5

3

Примерный перечень вопросов к экзамену

8

4

Рекомендуемая основная литература

9

5

Рекомендуемая дополнительная литература

10

6

Примерный перечень тем курсовых работ

10

7

Критерии оценки качества знаний студентов

11



9055040843562580.html
9055182238622033.html
9055274453389523.html
9055413441419180.html
9055521230953897.html